前面我说到了,咱们这个专栏的目标是想教会你利用数据结构的知识,建立算法思维,并完成代码效率的优化。为了达到这个目标,在第一节课,我们先来讲一讲如何衡量程序运行的效率。
当你在大数据环境中开发代码时,你一定遇到过程序执行好几个小时、甚至好几天的情况,或者是执行过程中电脑几乎死机的情况:
因此,衡量代码的运行效率对于一个工程师而言,是一项非常重要的基本功。本课时我们就来学习程序运行效率相关的度量方法。
复杂度是衡量代码运行效率的重要度量因素。在介绍复杂度之前,有必要先看一下复杂度和计算机实际任务处理效率的关系,从而了解降低复杂度的必要性。
计算机通过一个个程序去执行计算任务,也就是对输入数据进行加工处理,并最终得到结果的过程。每个程序都是由代码构成的。可见,编写代码的核心就是要完成计算。但对于同一个计算任务,不同计算方法得到结果的过程复杂程度是不一样的,这对你实际的任务处理效率就有了非常大的影响。
举个例子,你要在一个在线系统中实时处理数据。假设这个系统平均每分钟会新增 300M 的数据量。如果你的代码不能在 1 分钟内完成对这 300M 数据的处理,那么这个系统就会发生时间爆炸和空间爆炸。表现就是,电脑执行越来越慢,直到死机。因此,我们需要讲究合理的计算方法,去通过尽可能低复杂程度的代码完成计算任务。
那提到降低复杂度,我们首先需要知道怎么衡量复杂度。而在实际衡量时,我们通常会围绕以下2 个维度进行。首先,这段代码消耗的资源是什么。一般而言,代码执行过程中会消耗计算时间和计算空间,那需要衡量的就是时间复杂度和空间复杂度。
我举一个实际生活中的例子。某个十字路口没有建立立交桥时,所有车辆通过红绿灯分批次行驶通过。当大量汽车同时过路口的时候,就会分别消耗大家的时间。但建了立交桥之后,所有车辆都可以同时通过了,因为立交桥的存在,等于是消耗了空间资源,来换取了时间资源。
其次,这段代码对于资源的消耗是多少。我们不会关注这段代码对于资源消耗的绝对量,因为不管是时间还是空间,它们的消耗程度都与输入的数据量高度相关,输入数据少时消耗自然就少。为了更客观地衡量消耗程度,我们通常会关注时间或者空间消耗量与输入数据量之间的关系。
好,现在我们已经了解了衡量复杂度的两个纬度,那应该如何去计算复杂度呢?
复杂度是一个关于输入数据量 n 的函数。假设你的代码复杂度是 f(n),那么就用个大写字母 O 和括号,把 f(n) 括起来就可以了,即 O(f(n))。例如,O(n) 表示的是,复杂度与计算实例的个数 n 线性相关;O(logn) 表示的是,复杂度与计算实例的个数 n 对数相关。
通常,复杂度的计算方法遵循以下几个原则:
值得一提的是,O(1) 也是表示一个特殊复杂度,含义为某个任务通过有限可数的资源即可完成。此处有限可数的具体意义是,与输入数据量 n 无关。
例如,你的代码处理 10 条数据需要消耗 5 个单位的时间资源,3 个单位的空间资源。处理 1000 条数据,还是只需要消耗 5 个单位的时间资源,3 个单位的空间资源。那么就能发现资源消耗与输入数据量无关,就是 O(1) 的复杂度。
为了方便你理解不同计算方法对复杂度的影响,我们来看一个代码任务:对于输入的数组,输出与之逆序的数组。例如,输入 a=[1,2,3,4,5],输出 [5,4,3,2,1]。
先看方法一,建立并初始化数组 b,得到一个与输入数组等长的全零数组。通过一个 for 循环,从左到右将 a 数组的元素,从右到左地赋值到 b 数组中,最后输出数组 b 得到结果。
代码如下:
public void s1_1() {
int a[] = { 1, 2, 3, 4, 5 };
int b[] = new int[5];
for (int i = 0; i < a.length; i++) {
b[i] = a[i];
}
for (int i = 0; i < a.length; i++) {
b[a.length - i - 1] = a[i];
}
System.out.println(Arrays.toString(b));
}
这段代码的输入数据是 a,数据量就等于数组 a 的长度。代码中有两个 for 循环,作用分别是给b 数组初始化和赋值,其执行次数都与输入数据量相等。因此,代码的时间复杂度就是 O(n)+O(n),也就是 O(n)。
空间方面主要体现在计算过程中,对于存储资源的消耗情况。上面这段代码中,我们定义了一个新的数组 b,它与输入数组 a 的长度相等。因此,空间复杂度就是 O(n)。
接着我们看一下第二种编码方法,它定义了缓存变量 tmp,接着通过一个 for 循环,从 0 遍历到a 数组长度的一半(即 len(a)/2)。每次遍历执行的是什么内容?就是交换首尾对应的元素。最后打印数组 a,得到结果。
代码如下:
public void s1_2() {
int a[] = { 1, 2, 3, 4, 5 };
int tmp = 0;
for (int i = 0; i < (a.length / 2); i++) {
tmp = a[i];
a[i] = a[a.length - i - 1];
a[a.length - i - 1] = tmp;
}
System.out.println(Arrays.toString(a));
}
这段代码包含了一个 for 循环,执行的次数是数组长度的一半,时间复杂度变成了 O(n/2)。根据复杂度与具体的常系数无关的性质,这段代码的时间复杂度也就是 O(n)。
空间方面,我们定义了一个 tmp 变量,它与数组长度无关。也就是说,输入是 5 个元素的数组,需要一个 tmp 变量;输入是 50 个元素的数组,依然只需要一个 tmp 变量。因此,空间复杂度与输入数组长度无关,即 O(1)。
可见,对于同一个问题,采用不同的编码方法,对时间和空间的消耗是有可能不一样的。因此,工程师在写代码的时候,一方面要完成任务目标;另一方面,也需要考虑时间复杂度和空间复杂度,以求用尽可能少的时间损耗和尽可能少的空间损耗去完成任务。
好了,通过前面的内容,相信你已经对时间复杂度和空间复杂度有了很好的理解。从本质来看,时间复杂度与代码的结构有着非常紧密的关系;而空间复杂度与数据结构的设计有关,关于这一点我们会在下一讲进行详细阐述。接下来我先来系统地讲一下时间复杂度和代码结构的关系。
代码的时间复杂度,与代码的结构有非常强的关系,我们一起来看一些具体的例子。
例 1,定义了一个数组 a = [1, 4, 3],查找数组 a 中的最大值,代码如下:
public void s1_3() {
int a[] = { 1, 4, 3 };
int max_val = -1;
for (int i = 0; i < a.length; i++) {
if (a[i] > max_val) {
max_val = a[i];
}
}
System.out.println(max_val);
}
这个例子比较简单,实现方法就是,暂存当前最大值并把所有元素遍历一遍即可。因为代码的结构上需要使用一个 for 循环,对数组所有元素处理一遍,所以时间复杂度为 O(n)。
例2,下面的代码定义了一个数组 a = [1, 3, 4, 3, 4, 1, 3],并会在这个数组中查找出现次数最多的那个数字:
public void s1_4() {
int a[] = { 1, 3, 4, 3, 4, 1, 3 };
int val_max = -1;
int time_max = 0;
int time_tmp = 0;
for (int i = 0; i < a.length; i++) {
time_tmp = 0;
for (int j = 0; j < a.length; j++) {
if (a[i] == a[j]) {
time_tmp += 1;
}
if (time_tmp > time_max) {
time_max = time_tmp;
val_max = a[i];
}
}
}
System.out.println(val_max);
}
这段代码中,我们采用了双层循环的方式计算:第一层循环,我们对数组中的每个元素进行遍历;第二层循环,对于每个元素计算出现的次数,并且通过当前元素次数 time_tmp 和全局最大次数变量 time_max 的大小关系,持续保存出现次数最多的那个元素及其出现次数。由于是双层循环,这段代码在时间方面的消耗就是 n*n 的复杂度,也就是 O(n²)。
在这里,我们给出一些经验性的结论:
有了这些基本的结论,再去分析代码的时间复杂度将会轻而易举。
很多新手的工程师,对降低时间复杂度并没有那么强的意识。这主要是在学校或者实验室中,参加的课程作业或者科研项目,普遍都不是实时的、在线的工程环境。
实际的在线环境中,用户的访问请求可以看作一个流式数据。假设这个数据流中,每个访问的平均时间间隔是 t。如果你的代码无法在 t 时间内处理完单次的访问请求,那么这个系统就会一波未平一波又起,最终被大量积压的任务给压垮。这就要求工程师必须通过优化代码、优化数据结构,来降低时间复杂度。
为了更好理解,我们来看一些数据。假设某个计算任务需要处理 10 万 条数据。你编写的代码:
数字是不是一下子变得很悬殊?通常在小数据集上,时间复杂度的降低在绝对处理时间上没有太多体现。但在当今的大数据环境下,时间复杂度的优化将会带来巨大的系统收益。而这是优秀工程师必须具备的工程开发基本意识。
OK,今天的内容到这儿就结束了。相信你对复杂度的概念有了进一步的认识。
复杂度通常包括时间复杂度和空间复杂度。在具体计算复杂度时需要注意以下几点。
复杂度细分为时间复杂度和空间复杂度,其中时间复杂度与代码的结构设计高度相关;空间复杂度与代码中数据结构的选择高度相关。会计算一段代码的时间复杂度和空间复杂度,是工程师的基本功。这项技能你在实际工作中一定会用到,甚至在参加互联网公司面试的时候,也是面试中的必考内容。
下面的练习题,请你独立思考。评估一下,如下的代码片段,时间复杂度是多少?
for (i = 0; i < n; i++) {
for (j = 0; j < n; j++) {
for (k = 0; k < n; k++) {
}
for (m = 0; m < n; m++) {
}
}
}
关于复杂度的评估,需要你深入理解本节课的知识点。最后,你工作中有遇到过关于计算复杂度的哪些实际问题吗?你又是如何解决的?欢迎你在留言区和我分享。
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